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[[Parisi「統計的場の理論」を読む]]
2 The entropy
- 平衡系の確率分布 &mimetex(\exp(-\beta H(C))/Z); はやっ...
- 一般的な配位Cに対するエントロピーの式
#mimetex(S[P]=-\int d\mu(C) P(C) \ln P(C) = -\langle P(C)...
とそれを離散化した式
#mimetex(-\sum_1^M P_j \ln P_j)
で差がでるとは思わなかった! 確かに&mimetex(0\le P\le 1);...
方の式は負にはならないけど、最初の式は負になりうるのです...
- 1次元の場合での説明が章の後ろのNoteの3に示してあるよう...
式(1.13)の&mimetex(S_{\mbox{dis}}\sim S_{\mbox{con}} -d \...
- 連続空間を小さなセル&mimetex(\epsilon^d);に分割して、&m...
- (差が無限大になるのは)小さく分割することで連続空間に近...
- うーん、分からなくなってきた。
- 確率密度を離散化して &mimetex(P_i\epsilon); となってい...
#mimetex(\sum \ln (P_i\epsilon) (P_i\epsilon))
とするから変なことが起こるような気もするけど、、、
- きっとパリジ先生が自分でシミュレーションをやってエント...
負が出たことがあるんじゃないかな。
~ ローマ郊外のフラスカッティという小さな町にある研究所で...
当時は、コンピュータなんかは使わないのが清い理論物理屋だ...
- 給料が月3万円くらいのポスドク時代って言ってたころですね。
- ぼくのはじめてのポスドクでした。イタリア政府給費留学生...
いまは給料もよくなってるらしいです。笑っちゃうくらいの極...
研究所のみんなが親切だったし、理論部は小さくて、しょっち...
- 恋の世界も後進国の日本から超先進国のイタリアへ行って、...
- だめです。
- まあ式(1.13)だけの違いがあるけど、離散の場合の式
&mimetex(S=-\sum_1^M P_j \ln P_j); は
&mimetex((P_1,P_2, \cdots , P_M)); のどれか1つの&mimetex...
あとが全部ゼロのときに最小値&mimetex(S=0); になって、
&mimetex(L);個の配位のところにだけ同じ確率でいて、&mimete...
#mimetex(S=-\sum P_j \ln P_j = -(\frac{1}{L} \ln \frac{1}...
そしてLがだんだん大きくなり、最大値は&mimetex(\ln M); と...
よく分かるのでいいですね。
- このことから、&mimetex(\exp [S[P]]);は小さすぎない確率...
- ここからがいよいよ&mimetex(\exp(-\beta H));は特別な確率...
話ですね!
- 自分で話が咀嚼できているかどうか自信が無いので、翻訳み...
~ 全部で&mimetex(2^k); 個の状態(配位、configuration)があ...
誰かに伝えたいとするわけです。
&mimetex(2^k); 個の配位は、2進法で&mimetex(k);ビットで番...
~ システムが1個ではなくて&mimetex(N);個あったとすると(...
&mimetex(N\times k);ビットの情報を含みます。
~ さて、&mimetex(N);個のシステムが確率的に分布していると...
~ 問題は、N個のシステムがどういう状態になるか伝えるメッセ...
&mimetex(N\to \infty); のときにメッセージを解読した人が間...
そういうメッセージであるための最小ビット数&mimetex(B_N);...
- えーっ、&mimetex(B_N < k N);なら絶対間違える可能性があ...
- でも、そこが&mimetex(N\to \infty);である世界とNが有限の...
- この メッセージを解読した人が間違う可能性がゼロであるた...
#mimetex(\frac{B_N}{N} _{\vec{N\to\infty}} \frac{S[P]}{\l...
- つまりNが大きいときは
#mimetex(B_N = \frac{\ln (e^S)}{\ln 2} \times N )
だから、kビットではなくて、&mimetex(\frac{\ln (e^S)}{\ln ...
- M個の配位を全部取りうる場合は &mimetex(M=2^k);つまり
#mimetex(k=\log_2 M = \ln M/\ln 2)
でもいまはシャノンの定理(1.15) &mimetex(S[P]/\ln 2); ビッ...
#mimetex(I[P] = \frac{\ln M - S[P]}{\ln 2} \hspace{20mm} ...
だけの情報が、確率分布Pを指定したことの中に含まれているは...
- &mimetex(I[P]);を最小にする、ということはつまり&mimetex...
#mimetex(U=E[P]=\sum_{j=1}^M P_j H_j \hspace{20mm} (1.17))
は一定で、というのがカノニカル分布
#mimetex(P=\exp(-\beta H)/Z \hspace{20mm} (1.5) )
になる、これが(1.5)の意味だというわけですか。
-エントロピーを最大にするようにすると&mimetex(I[P]);は最...
- 内部エネルギーEを一定という条件でエントロピーを最大にす...
うーん、ここまで分かってないと統計力学の基礎を知ってると...
- でもまだここでは&mimetex(\beta);は温度の逆数だとは分か...
- 最後のところと注6にさらっと書いてあるけど、ラグランジ...
#mimetex(\Phi[P]=E[P] - \frac{1}{\beta}S[P] \hspace{20mm}...
が確率Pの合計は1だという拘束
#mimetex(\sum_j P_j = 1\hspace{20mm} (1.17b) )
の下で最大だということから、カノニカル分布が出てくるとい...
パリジ先生が書いている以上のことは書けないんだけど、未定...
を使って&mimetex(g(P)=0);という拘束のもとで&mimetex(\Phi)...
&mimetex(\Phi_\lambda\equiv \Phi + \lambda g(P));を最小に...
#mimetex(\Phi_\lambda =E[P] - \frac{1}{\beta}S[P] + \lamb...
ただし
#mimetex(E(P) = \sum_j P_j H_j)
#mimetex(S(P)=-\sum_j P_j \ln P_j)
まず&mimetex(\Phi_\lambda);を&mimetex(P_j);で微分して
#mimetex(\frac{\partial \Phi_\lambda}{\partial P_j} = H_j...
&mimetex(\Phi_\lambda);が最小のところではこれがゼロだから
#mimetex(\frac{1}{\beta}\ln P_j = - H_j - \frac{1}{\beta}...
つまり
#mimetex(P_j = e^{-\beta H_j} \times e^{-1+\lambda/\beta)
- うーん、エントロピーの形&mimetex(P_j\ln P_j);は微分した...
- まだ終わってないよ。~
&mimetex(\sum_j P_j = 1);に入れれば、
#mimetex(1 = \sum P_j = \sum_j e^{-\beta H} \times e^{-1+...
これを満たすように&mimetex(\lambda);を取ればいい。つまり
#mimetex(P_j = \frac{1}{Z} e^{-\beta H_j})
- 学部の統計力学の講義では、これを理解するのが一番大切な...
- この節の最後に書いてある関係式
#mimetex(\Phi[P_{eq}] \equiv F(\beta) = -\frac{1}{\beta} ...
#mimetex(S[P_{eq}] = \beta^2 \partial F/\partial \beta)
#mimetex(U \equiv E[P_{eq}] = -\partial Z/ \partial \beta)
もなかなか深いよ。
- これは習ってますよ。普通の式でしょう。
#mimetex(Z=e^{-\beta F)
という形で覚えろってよくNさんも言ってるじゃないですか。
- どれも普通に使う式だけど、&mimetex(P_{eq});とわざわざ書...
を使ってる、つまり平衡の時にしかなりたたない。パリジ先生...
終了行:
[[Parisi「統計的場の理論」を読む]]
2 The entropy
- 平衡系の確率分布 &mimetex(\exp(-\beta H(C))/Z); はやっ...
- 一般的な配位Cに対するエントロピーの式
#mimetex(S[P]=-\int d\mu(C) P(C) \ln P(C) = -\langle P(C)...
とそれを離散化した式
#mimetex(-\sum_1^M P_j \ln P_j)
で差がでるとは思わなかった! 確かに&mimetex(0\le P\le 1);...
方の式は負にはならないけど、最初の式は負になりうるのです...
- 1次元の場合での説明が章の後ろのNoteの3に示してあるよう...
式(1.13)の&mimetex(S_{\mbox{dis}}\sim S_{\mbox{con}} -d \...
- 連続空間を小さなセル&mimetex(\epsilon^d);に分割して、&m...
- (差が無限大になるのは)小さく分割することで連続空間に近...
- うーん、分からなくなってきた。
- 確率密度を離散化して &mimetex(P_i\epsilon); となってい...
#mimetex(\sum \ln (P_i\epsilon) (P_i\epsilon))
とするから変なことが起こるような気もするけど、、、
- きっとパリジ先生が自分でシミュレーションをやってエント...
負が出たことがあるんじゃないかな。
~ ローマ郊外のフラスカッティという小さな町にある研究所で...
当時は、コンピュータなんかは使わないのが清い理論物理屋だ...
- 給料が月3万円くらいのポスドク時代って言ってたころですね。
- ぼくのはじめてのポスドクでした。イタリア政府給費留学生...
いまは給料もよくなってるらしいです。笑っちゃうくらいの極...
研究所のみんなが親切だったし、理論部は小さくて、しょっち...
- 恋の世界も後進国の日本から超先進国のイタリアへ行って、...
- だめです。
- まあ式(1.13)だけの違いがあるけど、離散の場合の式
&mimetex(S=-\sum_1^M P_j \ln P_j); は
&mimetex((P_1,P_2, \cdots , P_M)); のどれか1つの&mimetex...
あとが全部ゼロのときに最小値&mimetex(S=0); になって、
&mimetex(L);個の配位のところにだけ同じ確率でいて、&mimete...
#mimetex(S=-\sum P_j \ln P_j = -(\frac{1}{L} \ln \frac{1}...
そしてLがだんだん大きくなり、最大値は&mimetex(\ln M); と...
よく分かるのでいいですね。
- このことから、&mimetex(\exp [S[P]]);は小さすぎない確率...
- ここからがいよいよ&mimetex(\exp(-\beta H));は特別な確率...
話ですね!
- 自分で話が咀嚼できているかどうか自信が無いので、翻訳み...
~ 全部で&mimetex(2^k); 個の状態(配位、configuration)があ...
誰かに伝えたいとするわけです。
&mimetex(2^k); 個の配位は、2進法で&mimetex(k);ビットで番...
~ システムが1個ではなくて&mimetex(N);個あったとすると(...
&mimetex(N\times k);ビットの情報を含みます。
~ さて、&mimetex(N);個のシステムが確率的に分布していると...
~ 問題は、N個のシステムがどういう状態になるか伝えるメッセ...
&mimetex(N\to \infty); のときにメッセージを解読した人が間...
そういうメッセージであるための最小ビット数&mimetex(B_N);...
- えーっ、&mimetex(B_N < k N);なら絶対間違える可能性があ...
- でも、そこが&mimetex(N\to \infty);である世界とNが有限の...
- この メッセージを解読した人が間違う可能性がゼロであるた...
#mimetex(\frac{B_N}{N} _{\vec{N\to\infty}} \frac{S[P]}{\l...
- つまりNが大きいときは
#mimetex(B_N = \frac{\ln (e^S)}{\ln 2} \times N )
だから、kビットではなくて、&mimetex(\frac{\ln (e^S)}{\ln ...
- M個の配位を全部取りうる場合は &mimetex(M=2^k);つまり
#mimetex(k=\log_2 M = \ln M/\ln 2)
でもいまはシャノンの定理(1.15) &mimetex(S[P]/\ln 2); ビッ...
#mimetex(I[P] = \frac{\ln M - S[P]}{\ln 2} \hspace{20mm} ...
だけの情報が、確率分布Pを指定したことの中に含まれているは...
- &mimetex(I[P]);を最小にする、ということはつまり&mimetex...
#mimetex(U=E[P]=\sum_{j=1}^M P_j H_j \hspace{20mm} (1.17))
は一定で、というのがカノニカル分布
#mimetex(P=\exp(-\beta H)/Z \hspace{20mm} (1.5) )
になる、これが(1.5)の意味だというわけですか。
-エントロピーを最大にするようにすると&mimetex(I[P]);は最...
- 内部エネルギーEを一定という条件でエントロピーを最大にす...
うーん、ここまで分かってないと統計力学の基礎を知ってると...
- でもまだここでは&mimetex(\beta);は温度の逆数だとは分か...
- 最後のところと注6にさらっと書いてあるけど、ラグランジ...
#mimetex(\Phi[P]=E[P] - \frac{1}{\beta}S[P] \hspace{20mm}...
が確率Pの合計は1だという拘束
#mimetex(\sum_j P_j = 1\hspace{20mm} (1.17b) )
の下で最大だということから、カノニカル分布が出てくるとい...
パリジ先生が書いている以上のことは書けないんだけど、未定...
を使って&mimetex(g(P)=0);という拘束のもとで&mimetex(\Phi)...
&mimetex(\Phi_\lambda\equiv \Phi + \lambda g(P));を最小に...
#mimetex(\Phi_\lambda =E[P] - \frac{1}{\beta}S[P] + \lamb...
ただし
#mimetex(E(P) = \sum_j P_j H_j)
#mimetex(S(P)=-\sum_j P_j \ln P_j)
まず&mimetex(\Phi_\lambda);を&mimetex(P_j);で微分して
#mimetex(\frac{\partial \Phi_\lambda}{\partial P_j} = H_j...
&mimetex(\Phi_\lambda);が最小のところではこれがゼロだから
#mimetex(\frac{1}{\beta}\ln P_j = - H_j - \frac{1}{\beta}...
つまり
#mimetex(P_j = e^{-\beta H_j} \times e^{-1+\lambda/\beta)
- うーん、エントロピーの形&mimetex(P_j\ln P_j);は微分した...
- まだ終わってないよ。~
&mimetex(\sum_j P_j = 1);に入れれば、
#mimetex(1 = \sum P_j = \sum_j e^{-\beta H} \times e^{-1+...
これを満たすように&mimetex(\lambda);を取ればいい。つまり
#mimetex(P_j = \frac{1}{Z} e^{-\beta H_j})
- 学部の統計力学の講義では、これを理解するのが一番大切な...
- この節の最後に書いてある関係式
#mimetex(\Phi[P_{eq}] \equiv F(\beta) = -\frac{1}{\beta} ...
#mimetex(S[P_{eq}] = \beta^2 \partial F/\partial \beta)
#mimetex(U \equiv E[P_{eq}] = -\partial Z/ \partial \beta)
もなかなか深いよ。
- これは習ってますよ。普通の式でしょう。
#mimetex(Z=e^{-\beta F)
という形で覚えろってよくNさんも言ってるじゃないですか。
- どれも普通に使う式だけど、&mimetex(P_{eq});とわざわざ書...
を使ってる、つまり平衡の時にしかなりたたない。パリジ先生...
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