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[[Parisi「統計的場の理論」を読む]]
第3章 The Ising Model
3-4 The correlation functions
- ここからは、実際に平均場近似の中で相関関数を計算してみ...
- なぜこんなことができるかというと、式(3.29)は平衡状態で...
- 確率分布が平衡状態からずれると、式(3.29)の相関関数(左辺...
- 平衡状態の確率分布と近似した確率分布の差を&mimetex(\del...
- 平衡状態では自由エネルギーが最小だから一階微分は0。だか...
- これが、平均場近似の確率分布で相関関数が計算できる理由...
- ええと、線形応答の式は、平衡状態で成り立つ訳ですね。そ...
- だけど、平衡状態ってなんなんだ?いま、この部屋の空気が...
中にいたら、普通は平衡から外れてるっていうよね。
- ええ、その状態から十分時間が経てば平衡状態に近づいてい...
- でも、平衡状態の定義は(1.5)式だから、全部の空気の分子が...
確率は低いかもしれないけど、(1.5)式が与える確率でたまたま...
それは平衡状態なんじゃないかな。
科研費や何かでここんところ睡眠不足が続いてるんで、訳の分...
- 言いたいことは分かるような気がするんですが、ずれてきて...
いま問題になっているのは、本当の確率は&mimetex(exp(-\beta...
スピンごとにファクトライズしてないでしょうが、平均場近似...
ここのスピンの関与する部分の積で近似する。そのとき、相関...
(3.29)式はゼロのはず。だけど、パリージ先生は、自由エネル...
平衡状態からのズレは、相関関数のズレより小さいから、ノン...
計算できておかしくないと言ってて、それがよく分からないと...
- なんか分かってきたような、混沌としてきたような。ええと...
どこで入ったかといえば、(3.9)ですよね。(3.31)は単に&mimet...
ならない理由を(3.9)で考えると、&mimetex(m_i); を&mimetex(...
時にゼロにならないからですね。左辺の&mimetex(m_i);を決め...
&mimetex(m_k);が入ってますから。
- なるほど。&mimetex(m_i);と&mimetex(m_k);の分布はファク...
はずなのに、&mimetex(h_k); が&mimetex(m_i); に影響を及ぼ...
- そうか、少しずつ分かってきたような気がする。(3.8)式あた...
#mimetex(\langle H \rangle = \langle -J \sum S_i S_k \cdo...
というように計算できて、エントロピーも計算でき、それから...
でも、パリージ先生がここで(多分)気にしているのは、平均...
- それが(3.30)式で、自由エネルギーは&mimetex(\epsilon^2);...
- うーん、完全に納得できた分けではないのだけど、先に行き...
- そうですね、ここだけでもう何週間も、うなってますものね。
- 微小な外場&mimetex(h_i);をかけたとき、&mimetex(m_i);も...
-まず、
#mimetex( A_{kl}=\frac{\beta}{(2\pi)^D}\int_B d^D pG^0 (p...
とおく。こういった変換が出てくると私はいつも戸惑ってしま...
- 積分のBは第一Brillouiin zone中の積分という意味ですね。...
#mimetex( \int_B d^D p = \prod_1^D \int_{-\pi}^{\pi} dp_\...
- 同じように考えると、
#mimetex( \delta_{il} =\frac{1}{(2\pi )^D}\int_B d^D p \e...
-&mimetex(J_{ik});は、&mimetex(i);と&mimetex(k);が隣同士...
#mimetex( \sum_k J_{ik}=\sum_\nu^D (\delta_{k,i+\nu}+\del...
&mimetex( i+\nu ,i-\nu );は&mimetex(i);のひとつ隣。&mimet...
- さらにここでJ=1としている。
- 上の式を使って(3.32)を書き直すと、
#mimetex( \begin{eqnarray*}\frac{1}{\beta}A_{il}-\sum_\nu...
だから
#mimetex( G^0 (p)\bigl( 1-2\beta \sum_\nu \cos \vec{\nu}\...
つまり
#mimetex( G^0 (p)\bigl( 1-2\beta \sum_\nu \cos p_\nu \big...
これを解いて
#mimetex( G^0 (p) = \bigl( 1-2\beta \sum_\nu \cos p_\nu ...
- 運動量空間にいったら(フーリエ変換したら)、&mimetex(A=(1...
- Aってなんだったんだろう。&mimetex(A^{-1}=1/\beta -J); ...
#mimetex((1/\beta - J)\vec{m} = \vec{h})
と書いたときの係数。これは(平均場近似での)自由エネルギ...
結局、平均場近似で&mimetex(m);が小さいときは、&mimetex(\P...
- そうかもしれませんね。先に行きます。
&mimetex(m_i = \sum_k A_{ik} h_k);(3.32)ですから、これで&...
#mimetex(\langle S_i S_k \rangle = \frac{1}{\beta} \frac{...
- &mimetex(\langle S_i S_k \rangle =m_i m_k);としてしまっ...
- 内部エネルギーは
#mimetex(u=\langle H \rangle /N = \frac{1}{2N} (-\sum_k J...
- ファクター2で割っているのは、&mimetex(J_{ki}); ときは、...
足すけど、&mimetex(J\sum S_i S_k); のときは足してないから、
その調節でしょうね。
- さっきやったように
#mimetex( \sum_k J_{ik}=\sum_\nu^D (\delta_{k,i+\nu}+\del...
として、そのフーリエ変換は
#mimetex(2 \sum_{\nu=1}^{D}\cos p_\nu)
つまり、&mimetex(J); も&mimetex(A); も運動量空間では対角...
&mimetex(A_{ik} J_{ki}); はそれぞれの対角要素をかけて足せ...
#mimetex(u=-\frac{1}{(2\pi)^D}\int d^D p \frac{\sum \cos ...
内部エネルギーを温度で微分すれば比熱が求まるので、(3.36)...
- 次は相関関数 &mimetex(\langle S_i S_k \rangle = \frac{1...
が相転移点の近傍でどう振る舞うかを調べるのですね。&mimete...
から&mimetex(i-k);&にしかよらないから、&mimetex(i=0);の場...
#mimetex(A_{k,0} \prop k^{-D+2})
となるのですか。
- ええと、
#mimetex(A_{k,0}=\frac{\beta}{(2\pi)^D}\int d^D p G^0(p) ...
&mimetex(G^0\(p)); は
#mimetex(G=\frac{1}{1-2\beta\sum\cos p_\nu})
ですが、温度が&mimetex(1-2D\beta=0); になるときにポールが...
&mimetex(1/p^2);になるようにしたいので、
#mimetex(G=\frac{1}{\beta p^2 + (1-2D\beta) + O(p^4)})
とするわけですか。
ここもう少し丁寧に説明してほしいんですけど、忙しいんですか?
- うん、今も教授会といよいよ来週に迫ってしまった大きな集...
書いている。
- まあ、来週に迫ってしまったと考えるか、あと1週間で自由...
- どうも。さて、これをどう計算するんだ、、、(約1時間) う...
#mimetex(\int d^D p \frac{1}{p^2} \exp(i\vec{k}\cdot\vec{...
の計算が本質的。ベクトルはD次元。
極座標に移るとたしか &mimetex(d^D p = p^{D-1}dp d\Omega);...
#mimetex(\int dp d\Omega p^{D-1} \frac{1}{p^2} \exp(i kp ...
&mimetex(kp=x);とおけば
#mimetex(\frac{1}{k^{D-2}} \int_{-k\pi}^{+k\pi} dx x^{D-3...
&mimetex(k); が非常に大きければ、積分は&mimetex(k); によ...
#mimetex(A_{k,0}\prop \frac{1}{k^{D-2}})
- 次は(3.36)式に比熱の式があるので、この積分を計算して、...
(&mimetex(C=-\log(1-2D\beta);)、D<4の時は冪で発散というの...
- &mimetex(p);が小さいときは
#mimetex(C\prop \int d^D p \Big( \frac{\sum_\nu (1-1/2p_\...
#mimetex(\sim \int d\Omega dp p^{D-1}\Big( \frac{D}{1 - 2...
&mimetex(p^2=t); とおけば
#mimetex(\sim \int dt \frac{t^{D/2-1}}{(t+b)^2} )
ただし&mimetex(b=1-2\beta D);
- ええと、これからどうするんでしょうね。岩波の公式集によ...
#mimetex(\int dx \frac{x}{(x+b)^2}=\frac{b}{x+b}+\log(|x+...
- D=4のときはこれに相当して、&mimetex(t=0); のところから
#mimetex(C\sim \log(1-2\beta D))
- 公式集には
#mimetex(\int dx \frac{x^m}{(x+b)^2}=[\sum_{r=0}^{m-2} {_...
ただし&mimetex(m\geq 2);
- これが&mimetex(D\geq 5);に使えるとすれば、積分の&mimete...
&mimetex(b\to 0); で消えるので、たぶんCは定数でしょうね。
-D<4 の場合に使えそうな公式はないですね。自分で作らないと...
- まだ終わりませんよ!さっき、&mimetex(A_{k,0}); を&mimet...
#mimetex(\exp(-k/\xi))
と相関関数 &mimetex(\langle S_k S_0 \rangle); が指数的に...
数行進むのも大変ですね。
- うーん、深雪の中を行軍してるみたいですね。まあ、手を取...
- はぁ?
- さっきは&mimetex(1-2D\beta);を落としてしまったけど、ち...
#mimetex(A_{k,0} \prop \int dp d\Omega \frac{p^{D-1}}{p^2...
立体角のうちθ部分は積分できて
#mimetex(\exp(ikp) - \exp(-ikp))
分母は
#mimetex(\frac{1}{(p+i\sqrt{b})(p-i\sqrt{b})})
だから&mimetex(p);の積分を複素数に拡張して、上半分か下半...
- ちゃんと調べないんですか?
- &mimetex(p=i\sqrt{b}); のポールを拾って
#mimetex(\exp(ik(i\sqrt{b}))=\exp(-k\sqrt{b})=\exp(-k/\xi))
ただし
#mimetex(\xi=\frac{1}{\sqrt{b}}=(1-2D\beta)^{-1/2})
- この計算が終わったところでのParisi先生のコメントは何か...
温度が高いときは比熱は&mimetex(T^{-2}); に比例する、確か...
&mimetex(\beta^2);という項がありますね。それから、4次元...
次元では相転移点で比熱は発散する。
平均場近似は、次の項が小さくなければいけないわけですが、...
- それって今の計算からわかりますかね?
- うーん、どうだろう、、、
- あとは、相転移温度の下では、相転移点にあまり近くなけれ...
終了行:
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第3章 The Ising Model
3-4 The correlation functions
- ここからは、実際に平均場近似の中で相関関数を計算してみ...
- なぜこんなことができるかというと、式(3.29)は平衡状態で...
- 確率分布が平衡状態からずれると、式(3.29)の相関関数(左辺...
- 平衡状態の確率分布と近似した確率分布の差を&mimetex(\del...
- 平衡状態では自由エネルギーが最小だから一階微分は0。だか...
- これが、平均場近似の確率分布で相関関数が計算できる理由...
- ええと、線形応答の式は、平衡状態で成り立つ訳ですね。そ...
- だけど、平衡状態ってなんなんだ?いま、この部屋の空気が...
中にいたら、普通は平衡から外れてるっていうよね。
- ええ、その状態から十分時間が経てば平衡状態に近づいてい...
- でも、平衡状態の定義は(1.5)式だから、全部の空気の分子が...
確率は低いかもしれないけど、(1.5)式が与える確率でたまたま...
それは平衡状態なんじゃないかな。
科研費や何かでここんところ睡眠不足が続いてるんで、訳の分...
- 言いたいことは分かるような気がするんですが、ずれてきて...
いま問題になっているのは、本当の確率は&mimetex(exp(-\beta...
スピンごとにファクトライズしてないでしょうが、平均場近似...
ここのスピンの関与する部分の積で近似する。そのとき、相関...
(3.29)式はゼロのはず。だけど、パリージ先生は、自由エネル...
平衡状態からのズレは、相関関数のズレより小さいから、ノン...
計算できておかしくないと言ってて、それがよく分からないと...
- なんか分かってきたような、混沌としてきたような。ええと...
どこで入ったかといえば、(3.9)ですよね。(3.31)は単に&mimet...
ならない理由を(3.9)で考えると、&mimetex(m_i); を&mimetex(...
時にゼロにならないからですね。左辺の&mimetex(m_i);を決め...
&mimetex(m_k);が入ってますから。
- なるほど。&mimetex(m_i);と&mimetex(m_k);の分布はファク...
はずなのに、&mimetex(h_k); が&mimetex(m_i); に影響を及ぼ...
- そうか、少しずつ分かってきたような気がする。(3.8)式あた...
#mimetex(\langle H \rangle = \langle -J \sum S_i S_k \cdo...
というように計算できて、エントロピーも計算でき、それから...
でも、パリージ先生がここで(多分)気にしているのは、平均...
- それが(3.30)式で、自由エネルギーは&mimetex(\epsilon^2);...
- うーん、完全に納得できた分けではないのだけど、先に行き...
- そうですね、ここだけでもう何週間も、うなってますものね。
- 微小な外場&mimetex(h_i);をかけたとき、&mimetex(m_i);も...
-まず、
#mimetex( A_{kl}=\frac{\beta}{(2\pi)^D}\int_B d^D pG^0 (p...
とおく。こういった変換が出てくると私はいつも戸惑ってしま...
- 積分のBは第一Brillouiin zone中の積分という意味ですね。...
#mimetex( \int_B d^D p = \prod_1^D \int_{-\pi}^{\pi} dp_\...
- 同じように考えると、
#mimetex( \delta_{il} =\frac{1}{(2\pi )^D}\int_B d^D p \e...
-&mimetex(J_{ik});は、&mimetex(i);と&mimetex(k);が隣同士...
#mimetex( \sum_k J_{ik}=\sum_\nu^D (\delta_{k,i+\nu}+\del...
&mimetex( i+\nu ,i-\nu );は&mimetex(i);のひとつ隣。&mimet...
- さらにここでJ=1としている。
- 上の式を使って(3.32)を書き直すと、
#mimetex( \begin{eqnarray*}\frac{1}{\beta}A_{il}-\sum_\nu...
だから
#mimetex( G^0 (p)\bigl( 1-2\beta \sum_\nu \cos \vec{\nu}\...
つまり
#mimetex( G^0 (p)\bigl( 1-2\beta \sum_\nu \cos p_\nu \big...
これを解いて
#mimetex( G^0 (p) = \bigl( 1-2\beta \sum_\nu \cos p_\nu ...
- 運動量空間にいったら(フーリエ変換したら)、&mimetex(A=(1...
- Aってなんだったんだろう。&mimetex(A^{-1}=1/\beta -J); ...
#mimetex((1/\beta - J)\vec{m} = \vec{h})
と書いたときの係数。これは(平均場近似での)自由エネルギ...
結局、平均場近似で&mimetex(m);が小さいときは、&mimetex(\P...
- そうかもしれませんね。先に行きます。
&mimetex(m_i = \sum_k A_{ik} h_k);(3.32)ですから、これで&...
#mimetex(\langle S_i S_k \rangle = \frac{1}{\beta} \frac{...
- &mimetex(\langle S_i S_k \rangle =m_i m_k);としてしまっ...
- 内部エネルギーは
#mimetex(u=\langle H \rangle /N = \frac{1}{2N} (-\sum_k J...
- ファクター2で割っているのは、&mimetex(J_{ki}); ときは、...
足すけど、&mimetex(J\sum S_i S_k); のときは足してないから、
その調節でしょうね。
- さっきやったように
#mimetex( \sum_k J_{ik}=\sum_\nu^D (\delta_{k,i+\nu}+\del...
として、そのフーリエ変換は
#mimetex(2 \sum_{\nu=1}^{D}\cos p_\nu)
つまり、&mimetex(J); も&mimetex(A); も運動量空間では対角...
&mimetex(A_{ik} J_{ki}); はそれぞれの対角要素をかけて足せ...
#mimetex(u=-\frac{1}{(2\pi)^D}\int d^D p \frac{\sum \cos ...
内部エネルギーを温度で微分すれば比熱が求まるので、(3.36)...
- 次は相関関数 &mimetex(\langle S_i S_k \rangle = \frac{1...
が相転移点の近傍でどう振る舞うかを調べるのですね。&mimete...
から&mimetex(i-k);&にしかよらないから、&mimetex(i=0);の場...
#mimetex(A_{k,0} \prop k^{-D+2})
となるのですか。
- ええと、
#mimetex(A_{k,0}=\frac{\beta}{(2\pi)^D}\int d^D p G^0(p) ...
&mimetex(G^0\(p)); は
#mimetex(G=\frac{1}{1-2\beta\sum\cos p_\nu})
ですが、温度が&mimetex(1-2D\beta=0); になるときにポールが...
&mimetex(1/p^2);になるようにしたいので、
#mimetex(G=\frac{1}{\beta p^2 + (1-2D\beta) + O(p^4)})
とするわけですか。
ここもう少し丁寧に説明してほしいんですけど、忙しいんですか?
- うん、今も教授会といよいよ来週に迫ってしまった大きな集...
書いている。
- まあ、来週に迫ってしまったと考えるか、あと1週間で自由...
- どうも。さて、これをどう計算するんだ、、、(約1時間) う...
#mimetex(\int d^D p \frac{1}{p^2} \exp(i\vec{k}\cdot\vec{...
の計算が本質的。ベクトルはD次元。
極座標に移るとたしか &mimetex(d^D p = p^{D-1}dp d\Omega);...
#mimetex(\int dp d\Omega p^{D-1} \frac{1}{p^2} \exp(i kp ...
&mimetex(kp=x);とおけば
#mimetex(\frac{1}{k^{D-2}} \int_{-k\pi}^{+k\pi} dx x^{D-3...
&mimetex(k); が非常に大きければ、積分は&mimetex(k); によ...
#mimetex(A_{k,0}\prop \frac{1}{k^{D-2}})
- 次は(3.36)式に比熱の式があるので、この積分を計算して、...
(&mimetex(C=-\log(1-2D\beta);)、D<4の時は冪で発散というの...
- &mimetex(p);が小さいときは
#mimetex(C\prop \int d^D p \Big( \frac{\sum_\nu (1-1/2p_\...
#mimetex(\sim \int d\Omega dp p^{D-1}\Big( \frac{D}{1 - 2...
&mimetex(p^2=t); とおけば
#mimetex(\sim \int dt \frac{t^{D/2-1}}{(t+b)^2} )
ただし&mimetex(b=1-2\beta D);
- ええと、これからどうするんでしょうね。岩波の公式集によ...
#mimetex(\int dx \frac{x}{(x+b)^2}=\frac{b}{x+b}+\log(|x+...
- D=4のときはこれに相当して、&mimetex(t=0); のところから
#mimetex(C\sim \log(1-2\beta D))
- 公式集には
#mimetex(\int dx \frac{x^m}{(x+b)^2}=[\sum_{r=0}^{m-2} {_...
ただし&mimetex(m\geq 2);
- これが&mimetex(D\geq 5);に使えるとすれば、積分の&mimete...
&mimetex(b\to 0); で消えるので、たぶんCは定数でしょうね。
-D<4 の場合に使えそうな公式はないですね。自分で作らないと...
- まだ終わりませんよ!さっき、&mimetex(A_{k,0}); を&mimet...
#mimetex(\exp(-k/\xi))
と相関関数 &mimetex(\langle S_k S_0 \rangle); が指数的に...
数行進むのも大変ですね。
- うーん、深雪の中を行軍してるみたいですね。まあ、手を取...
- はぁ?
- さっきは&mimetex(1-2D\beta);を落としてしまったけど、ち...
#mimetex(A_{k,0} \prop \int dp d\Omega \frac{p^{D-1}}{p^2...
立体角のうちθ部分は積分できて
#mimetex(\exp(ikp) - \exp(-ikp))
分母は
#mimetex(\frac{1}{(p+i\sqrt{b})(p-i\sqrt{b})})
だから&mimetex(p);の積分を複素数に拡張して、上半分か下半...
- ちゃんと調べないんですか?
- &mimetex(p=i\sqrt{b}); のポールを拾って
#mimetex(\exp(ik(i\sqrt{b}))=\exp(-k\sqrt{b})=\exp(-k/\xi))
ただし
#mimetex(\xi=\frac{1}{\sqrt{b}}=(1-2D\beta)^{-1/2})
- この計算が終わったところでのParisi先生のコメントは何か...
温度が高いときは比熱は&mimetex(T^{-2}); に比例する、確か...
&mimetex(\beta^2);という項がありますね。それから、4次元...
次元では相転移点で比熱は発散する。
平均場近似は、次の項が小さくなければいけないわけですが、...
- それって今の計算からわかりますかね?
- うーん、どうだろう、、、
- あとは、相転移温度の下では、相転移点にあまり近くなけれ...
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