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[[Parisi「統計的場の理論」を読む]]
第3章 The Ising Model
3-4b The correlation functions (続き)
- 教科書の方は、別にこの節は2つに分かれていないと思いま...
- このページは、mimetexを入れてもらったwikiで書いているの...
- 次は、次元&mimetex(D); が無限大の場合を考える。このと...
#mimetex(\tilde{\beta} \equiv 2\beta D)
を一定にする、つまり&mimetex(D);が大きくなると温度が高く...
- でも、β は相転移温度の近傍に興味があるとはいえ、別...
- うーん、&mimetex(D);が変わると、同じ現象が起こる温度は...
- まず&mimetex(x);方向に&mimetex(n); だけ離れているときの...
- &mimetex(\tilde{G}^{0}(n));は相関関数 &mimetex(A_{0n});...
#mimetex(\begin{eqnarray} \tilde{G}^{0}(n) &=& \frac{1}{(...
- このままだと、&mimetex(p_\nu); の和が分母に入っていて、...
#mimetex(\frac{1}{X} = \int_0^{\infty} d\alpha e^{-\alpha...
ただし&mimetex(X); は正または正定値行列。
- ええと、ヒートカーネル公式と言うんだったかな、自信ない...
- まあ名前はどうでも。これを使えば
#mimetex(\int d\alpha \int d^D p \exp(ip_x n) \exp(-\alph...
となるから、&mimetex(p); の積分は完全にν 個の積分にフ...
- すると驚いたことに、
#mimetex(\frac{1}{2\pi} \int_\pi^\pi dp \exp(\lambda\cos ...
なので、各積分はmodified Bessel &mimetex(I_n); で書けちゃ...
#mimetex(\tilde{G}^{0}(n) = \int_0^{\infty} \exp(-\alpha)...
- &mimetex(D); は無限大と思っているから、Modified Bessel,...
#mimetex(\begin{eqnarray} \int_0^\infty \exp(-\alpha) I_n...
- でも、&mimetex(D); が大きくてもαの積分で上が無限...
- それも評価していて、ベッセル関数の漸近展開
#mimetex(I_n(\lambda)\sim \frac{\exp(\lambda)}{\lambda})
を使って(&mimetex(\lambda=\alpha\tilde{\beta}/D);として)
#mimetex(\tilde{G}^0(n) \sim \int_0^\infty \exp(-\alpha) ...
- だから&mimetex(\tilde{\beta}<1);なら、αが無限大で...
- ちゃんと特殊関数の公式まで書いてくれてるから助かります...
- 我々の先生の世代だと、ベッセル関数の公式くらいで公式集...
- 次も公式(3.43)をまず教えてくれて、これは&mimetex(x=np);...
- たぶんベッセル関数の積分の公式を使ったりして、完全に積...
#mimetex(f(p) = \int_{-\pi}^{\pi} \Pi_{\nu=2,3,..,D} dp_\...
- この冪の&mimetex(D/2-3/2); がどこから出てくるかくらいは...
- &mimetex(f); は&mimetex(p=ip_s, p_2=0, p_3=0, ..., p_D=...
#mimetex([1-2\beta\left( \cos p + \cos p_2 + \cdots \cos ...
ここで&mimetex(p); がゼロのそばが効くとして
#mimetex(-\beta (p^2-(ip_s)^2 + p_2^2 + \cdots p_D^2) )
&mimetex(A=p^2-(ip_s)^2); として、積分を(D-1)次元の曲座標...
#mimetex(f(p) = \int \frac{p^{D-2}}{A+p^2}dp d\Omega)
- ここで、&mimetex(p=\sqrt{A} x);とおけば
#mimetex(f(p) = \frac{A^{(D-1)/2}}{A} \int \frac{1}{1+x^2...
だから、確かに&mimetex(A^{(D-2)/2});はでてきますね。
~積分の範囲が&mimetex(A); に依存しなければ。
- しかし、今の証明を見ていると、別に極座標にしなくてもい...
- あっ、そうですね、&mimetex(p); から&mimetex(x); への変...
- 「偶数次元の時」と書いてありますが、&mimetex(D);が偶数...
- うーん、そうですね。Parisi先生の頭の中にあるのは別な証...
- &mimetex(p); の方も、&mimetex(\cos p - \cos (ip_s) ); ...
- うーん、そうですね、論理的にはちゃんと繋がってないかな...
#mimetex(\int dp f(p) \exp(inp) \to \exp(-np_s))
と書いてあるので、そういう前提で考えているんだけど、これ...
~でも、&mimetex(f(p));が&mimetex(ip_s); でシンギュラーに...
#mimetex(p^2-(ip_s)^2=(p-ip_s)(p+ip_s))
というのでは駄目かなあ。
- え、えーとえーと、極座標にしなくても良いんですか?それ...
- もちろん、高次の項はあるでしょうね。&mimetex( C_1(p-i p...
- 今は1方向の相関を考え、残りの2,3,...,D方向は積分しちゃ...
- まあ、それほど深い意味は無くて、D次元格子上の2点間の相...
- この2点を結ぶのベクトルを&mimetex(n\vec{v}); として、&...
#mimetex(G^0(n\vec{v}) \sim \exp(-n\xi(\vec{v})) )
この&mimetex(\xi(\vec{v})); が相転移点の近傍では&mimetex(...
- まあ、相関関数が無限大になるときは、そうじゃないとおか...
- 計算はstraightforwardなんですよね。(3.44)式の分母のとこ...
#mimetex(1-2\beta\left( \cos(ip_1) + \cos(ip_2) + \cdots ...
つまり
#mimetex(\sum_\nu \cosh(p_\nu) = \sum_\nu \cosh(p v_\nu) ...
となる&mimetex(\xi);を求めるわけですね。この場合も(3.43)...
&mimetex(\xi^{-1});が大きいという後から出てくるはずのこと...
#mimetex(\cosh(x) \sim 1 + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{24} ...
を使って出そうですね。
#mimetex(D+\frac{1}{2}(\xi^{-1})^2\sum_\nu v_\nu^2 + \fra...
&mimetex(X=(\xi^{-1})^2); として2次方程式にして解いて、&...
#mimetex(X=\frac{1}{\vec{v}^4}(-6 + \sqrt{36 + \frac{12\v...
但し&mimetex(\vec{v}^2=1); それから教科書の記号&mimetex(\...
うわ、&mimetex((1+x)^{1/2}=1+x/2);としたんじゃ駄目なんで...
#mimetex((1+x)^{1/2}=1+\frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \c...
を使います。
#mimetex(X=\frac{1}{\vec{v}^4}(-6+6[1+\frac{(1-2D\beta)\v...
#mimetex(=\frac{(1-2D\beta)}{\beta}(1-\frac{(1-2D\beta)\v...
ここで&mimetex(X=(\xi^{-1})^2);だったから
#mimetex( \xi^{-1} = \left(\frac{(1-2D\beta)}{\beta}\righ...
ですか。ふぅー。確かにこの式までくれば、&mimetex(\xi);は&...
- そうですね。ここ、結構式のチェックなんかで時間を取られ...
この章のテーマのイジング模型について、2つ前の節の3.2で、...
あと、Aが求まると内部エネルギー&mimetex(u);も求まるので、...
- はい。では次の節に行きましょう。
終了行:
[[Parisi「統計的場の理論」を読む]]
第3章 The Ising Model
3-4b The correlation functions (続き)
- 教科書の方は、別にこの節は2つに分かれていないと思いま...
- このページは、mimetexを入れてもらったwikiで書いているの...
- 次は、次元&mimetex(D); が無限大の場合を考える。このと...
#mimetex(\tilde{\beta} \equiv 2\beta D)
を一定にする、つまり&mimetex(D);が大きくなると温度が高く...
- でも、β は相転移温度の近傍に興味があるとはいえ、別...
- うーん、&mimetex(D);が変わると、同じ現象が起こる温度は...
- まず&mimetex(x);方向に&mimetex(n); だけ離れているときの...
- &mimetex(\tilde{G}^{0}(n));は相関関数 &mimetex(A_{0n});...
#mimetex(\begin{eqnarray} \tilde{G}^{0}(n) &=& \frac{1}{(...
- このままだと、&mimetex(p_\nu); の和が分母に入っていて、...
#mimetex(\frac{1}{X} = \int_0^{\infty} d\alpha e^{-\alpha...
ただし&mimetex(X); は正または正定値行列。
- ええと、ヒートカーネル公式と言うんだったかな、自信ない...
- まあ名前はどうでも。これを使えば
#mimetex(\int d\alpha \int d^D p \exp(ip_x n) \exp(-\alph...
となるから、&mimetex(p); の積分は完全にν 個の積分にフ...
- すると驚いたことに、
#mimetex(\frac{1}{2\pi} \int_\pi^\pi dp \exp(\lambda\cos ...
なので、各積分はmodified Bessel &mimetex(I_n); で書けちゃ...
#mimetex(\tilde{G}^{0}(n) = \int_0^{\infty} \exp(-\alpha)...
- &mimetex(D); は無限大と思っているから、Modified Bessel,...
#mimetex(\begin{eqnarray} \int_0^\infty \exp(-\alpha) I_n...
- でも、&mimetex(D); が大きくてもαの積分で上が無限...
- それも評価していて、ベッセル関数の漸近展開
#mimetex(I_n(\lambda)\sim \frac{\exp(\lambda)}{\lambda})
を使って(&mimetex(\lambda=\alpha\tilde{\beta}/D);として)
#mimetex(\tilde{G}^0(n) \sim \int_0^\infty \exp(-\alpha) ...
- だから&mimetex(\tilde{\beta}<1);なら、αが無限大で...
- ちゃんと特殊関数の公式まで書いてくれてるから助かります...
- 我々の先生の世代だと、ベッセル関数の公式くらいで公式集...
- 次も公式(3.43)をまず教えてくれて、これは&mimetex(x=np);...
- たぶんベッセル関数の積分の公式を使ったりして、完全に積...
#mimetex(f(p) = \int_{-\pi}^{\pi} \Pi_{\nu=2,3,..,D} dp_\...
- この冪の&mimetex(D/2-3/2); がどこから出てくるかくらいは...
- &mimetex(f); は&mimetex(p=ip_s, p_2=0, p_3=0, ..., p_D=...
#mimetex([1-2\beta\left( \cos p + \cos p_2 + \cdots \cos ...
ここで&mimetex(p); がゼロのそばが効くとして
#mimetex(-\beta (p^2-(ip_s)^2 + p_2^2 + \cdots p_D^2) )
&mimetex(A=p^2-(ip_s)^2); として、積分を(D-1)次元の曲座標...
#mimetex(f(p) = \int \frac{p^{D-2}}{A+p^2}dp d\Omega)
- ここで、&mimetex(p=\sqrt{A} x);とおけば
#mimetex(f(p) = \frac{A^{(D-1)/2}}{A} \int \frac{1}{1+x^2...
だから、確かに&mimetex(A^{(D-2)/2});はでてきますね。
~積分の範囲が&mimetex(A); に依存しなければ。
- しかし、今の証明を見ていると、別に極座標にしなくてもい...
- あっ、そうですね、&mimetex(p); から&mimetex(x); への変...
- 「偶数次元の時」と書いてありますが、&mimetex(D);が偶数...
- うーん、そうですね。Parisi先生の頭の中にあるのは別な証...
- &mimetex(p); の方も、&mimetex(\cos p - \cos (ip_s) ); ...
- うーん、そうですね、論理的にはちゃんと繋がってないかな...
#mimetex(\int dp f(p) \exp(inp) \to \exp(-np_s))
と書いてあるので、そういう前提で考えているんだけど、これ...
~でも、&mimetex(f(p));が&mimetex(ip_s); でシンギュラーに...
#mimetex(p^2-(ip_s)^2=(p-ip_s)(p+ip_s))
というのでは駄目かなあ。
- え、えーとえーと、極座標にしなくても良いんですか?それ...
- もちろん、高次の項はあるでしょうね。&mimetex( C_1(p-i p...
- 今は1方向の相関を考え、残りの2,3,...,D方向は積分しちゃ...
- まあ、それほど深い意味は無くて、D次元格子上の2点間の相...
- この2点を結ぶのベクトルを&mimetex(n\vec{v}); として、&...
#mimetex(G^0(n\vec{v}) \sim \exp(-n\xi(\vec{v})) )
この&mimetex(\xi(\vec{v})); が相転移点の近傍では&mimetex(...
- まあ、相関関数が無限大になるときは、そうじゃないとおか...
- 計算はstraightforwardなんですよね。(3.44)式の分母のとこ...
#mimetex(1-2\beta\left( \cos(ip_1) + \cos(ip_2) + \cdots ...
つまり
#mimetex(\sum_\nu \cosh(p_\nu) = \sum_\nu \cosh(p v_\nu) ...
となる&mimetex(\xi);を求めるわけですね。この場合も(3.43)...
&mimetex(\xi^{-1});が大きいという後から出てくるはずのこと...
#mimetex(\cosh(x) \sim 1 + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{24} ...
を使って出そうですね。
#mimetex(D+\frac{1}{2}(\xi^{-1})^2\sum_\nu v_\nu^2 + \fra...
&mimetex(X=(\xi^{-1})^2); として2次方程式にして解いて、&...
#mimetex(X=\frac{1}{\vec{v}^4}(-6 + \sqrt{36 + \frac{12\v...
但し&mimetex(\vec{v}^2=1); それから教科書の記号&mimetex(\...
うわ、&mimetex((1+x)^{1/2}=1+x/2);としたんじゃ駄目なんで...
#mimetex((1+x)^{1/2}=1+\frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \c...
を使います。
#mimetex(X=\frac{1}{\vec{v}^4}(-6+6[1+\frac{(1-2D\beta)\v...
#mimetex(=\frac{(1-2D\beta)}{\beta}(1-\frac{(1-2D\beta)\v...
ここで&mimetex(X=(\xi^{-1})^2);だったから
#mimetex( \xi^{-1} = \left(\frac{(1-2D\beta)}{\beta}\righ...
ですか。ふぅー。確かにこの式までくれば、&mimetex(\xi);は&...
- そうですね。ここ、結構式のチェックなんかで時間を取られ...
この章のテーマのイジング模型について、2つ前の節の3.2で、...
あと、Aが求まると内部エネルギー&mimetex(u);も求まるので、...
- はい。では次の節に行きましょう。
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