第３章

Parisi「統計的場の理論」を読む

3 The Ising Model

3.1 The model

• モデルを作ると言うのは、パリジ先生も書いているように難しいのですね。 何でもかんでも正確にやればいいというものではないし、発展性がないのも ダメだし。物理では、プラズマ振動数のように対象を記述するいい自由度を 見つけ出すのが勝負なので、モデル構築が僕のような二流、三流の物理屋には 難しいのは当然なんですが。

• まあまあ、いじけないで。次の(3.1)の意味をよく理解したいですね。

• 本当は、電子と格子を作っている原子との相互作用、格子点の間の 相互作用などいろいろなものが入るはずだけど、それを積分してしま った後に、左辺が得られるわけですね。 必ずベータがこのようにファクトライズされるというのは証明できるのかなあ。 の中に押し込めるという数学的な答えはあまり意味が無いし。 このボルツマンの形は情報学的に意味があるし、 はそのときの未定定数 だったから、ある程度証明できるのかもしれない。でも知らない。知らないこと が多くて悲しい。

• スピンが格子点のところで定義できるのは、 格子間の典型的な間隔がオングストローム、電子雲の拡がりが、えーと、 すぐ言えないのは僕が二流の証拠だなあ。

• (3.1)式で、x, C, S(x,C), S(x) は一般的なものと考えてもいいけど、 まあ、xは格子点、S(x)はそこにあるスピン変数、本当はSは単純にS(x)と書ける わけではなくて、いろいろな配位の関数でもあるはずだから、S(x,C)と書いた と具体的に考えてもいいですよね。

• そのとき、本当のハミルトニアンはH(C)なんだけど、　Cについては見ないで 積分してしまった有効ハミルトニアンが というわけですが、 どうして(3.1)のように定義するんでしょうか。
  
  としたっていいような気がしますが。

• ええと、(3.1)のように定義しておけば、両辺をSで積分すれば、デルタ関数を積分すれば１だから
  

• えっ、だから？

• おお、つまりこうやって作った からボルツマン因子 を作って、それをSについて積分すれば もとと同じ分配関数 Z が求まるわけですね。なるほど、これ以外の定義で 有効ハミルトニアンを作っても、統計力学的にはあまり意味が無いものに なってしまうわけか。

• 統計力学では、が確率で、確率分布はその 部分を足してもまた確率だから、ミクロに見たとき の確率をという拘束を付けて足したものが、 という疎視化した確率ということですかね。

• 少し飛んで(3.4)式 こうやっても同等だと言っても何が同等なんですか?
  
  がどういう振舞をするかで相転移温度や 相転移の次数が決まるから、正方格子の場合の強磁性体と反強磁性体は 同じ相転移の様相を示す。

• 正方といったって、長方形や、平行四辺形でもいいんですよね。 そりゃそうですね。

3.2 The mean-field approximation

普通は、ハミルトニアンの中で、力学変数を平均値に置き換えてという ところから平均場は話をするのだけど、ここでは、全変数

の状態の確率 P(\{S\})が、

とファクトライズするという近似が平均場近似だとしてスタートするん ですね。 確かに、平均場近似の本質は、一つの変数S_iの記述にその変数と、(それ以外の ものが作った)平均外場だけで閉じて書けてしまうということなのか。

自由エネルギーが求まってしまえば、これのミニマムを探すために

から

• (3.9) arctanhが何で出てくるんですか? これはよく出てくるから、覚えておいて損は無い。
  
  だから、
  
  という有効ハミルトニアンを考えて、
  
  になっている。

• (3.11)の次 A=1/4はどこからでてくるのでしょう？
  
  と近似すれば
  
  これからm=0 あるいは
  
  だから、これが解を持つためには
  
  不等号が逆ですけど？ あれ、どうしてだろう、、、 これ、計算してみると、Bは負ですね。だからか。

• このとき、教科書にはbeta_c=0.357と書いてあるが、これは 0.324の間違いではないでしょうか？

• m をグラフにしてみましょう!

• Tc 以下では２つの解があるので、なぜ一方を選ぶかの 議論が必要ですね。

• フリーエネルギーがそちらの方が低いはず

• h=0の場合は1粒子あたりの自由エネルギーが(3.12)から

となるので、(s(m)は(3.8))

自由エネルギーが最小になるのは、のとき。

m=0は明らかにの解になっているので、このときは極値をとる。

• はということなので、

• h=0, D=2(2次元)のときのを図示すると、このようになります。

• の時、

• の時、

• の時、(ここだけスケールが違います)

• なるほど、これはおもしろい。のときは は３カ所でゼロを切るけど、ではゼロを切るのは一点なんですね。

• これは外場 h がゼロの時だけど、ゼロで無いときも、この図からすぐ様子が見えるね。