3-2

Parisi「統計的場の理論」を読む

第3章 The Ising Model

3.2 The mean-field approximation

普通は、ハミルトニアンの中で、力学変数を平均値に置き換えてという ところから平均場は話をするのだけど、ここでは、全変数

の状態の確率 が、

とファクトライズするという近似が平均場近似だとしてスタートするん ですね。 確かに、平均場近似の本質は、一つの変数の記述にその変数と、(それ以外の ものが作った)平均外場だけで閉じて書けてしまうということなのか。

自由エネルギーが求まってしまえば、これのミニマムを探すために

から

• (3.9) arctanhが何で出てくるんですか?

• これはよく出てくるから、覚えておいて損は無い。
  
  だから、
  
  という有効ハミルトニアンを考えて、
  
  になっている。

• (3.11)の次 A=1/4はどこからでてくるのでしょう？
  
  と近似すれば
  
  これからm=0 あるいは
  
  だから、これが解を持つためには
  
  不等号が逆ですけど？ あれ、どうしてだろう、、、 これ、計算してみると、Bは負ですね。だからか。

• このとき、教科書にはbeta_c=0.357と書いてあるが、これは 0.324の間違いではないでしょうか？

• m をグラフにしてみましょう!

• Tc 以下では２つの解があるので、なぜ一方を選ぶかの 議論が必要ですね。

• フリーエネルギーがそちらの方が低いはず

• h=0の場合は1粒子あたりの自由エネルギーが(3.12)から

となるので、(s(m)は(3.8)で与えられる)

• 自由エネルギーが最小になるのは、のとき。

• m=0は明らかにの解になっているので、このときは極値をとる。

• 上の式から、となるのはのときですが、なのでとなる。よって、が1より大きい場合と小さい場合とに分けて考えなければいけない。

この、が温度ではに対応するということなのですね。

• テキストの(3.13)式の少し前にとありますがこれは、ではないでしょうか？

また、(3.13)式の次のパラグラフにとありますが、これはではないでしょうか？

• まず、のときにはは常に正になるので、m=0では最小値をとる。これは、温度がより高い場合に相当します。

• 次に、のときにはどうなるか考えると、、、 m=0のときつまりmの２階微分が負になるので、m=0の解は極大値。そこで、m=0以外の解を探すと、(3.13)のようになるということですね。ではm=0の近傍に解が、ではの近傍に解が存在するということ。

(3.13)式のにおいては、のときの２階微分が常に正になるので、このでの解が最小値になります。

• h=0, D=2(2次元)のときのを図示すると、このようになります。

• の時、

• の時、

• の時、(ここだけスケールが違います)

• なるほど、これはおもしろい。のときは は３カ所でゼロを切るけど、ではゼロを切るのは一点なんですね。

• これは外場 h がゼロの時だけど、ゼロで無いときも、この図からすぐ様子が見えるね。

• 平均場から得られる結果をまとめたのが、式(3.14)ですね。

• 外部磁場h=0のときは、キューリー温度 では磁化はゼロ で、内部エネルギーも

• より下では、対称性の自発的破れが起こって の２つの値で自由エネルギーは最小になる。
  

• だから、
  
• ここで

• 　と書けば、臨界係数の１つ が求まって、それは1/2。

• あれ、温度依存性は分母のもありますけど。

• &mimetex(T_c)の近傍ではその項は滑らかにしか変化しないので無視。 下からキューリ温度（相転移温度） に近づいていくと、磁化は でゼロになり、その後はずっとゼロだから、 で連続だけど、微分は不連続になる。こういう振る舞いを問題にしているから、滑らかに変化する項は無視。

• 2Dって、自分の前後左右にいくつ相互作用するお隣さんがいるかっていう数ですよね。それが丁度キューリー温度になるんですね。

• 帯磁率はで、 だから、さっきと同じように計算して
  

• こういう相転移での振る舞いのだいたいの様子が平均場ででちゃうんですね。

• で のときに
  
  というのが出せないんですけど。

• 自由エネルギーの１階微分をゼロにするところが実現しているわけだから、hが入った場合に計算して
  

• これがゼロだという式は書いたんですが。

• 途中でやめない。
  
  logの展開は知ってるよね
  
  

• 公式集を見れば、、、

• これは公式集を見なくたって出せる。これは知ってる？
  

• 馬鹿にしないで下さい。

• これの両辺を積分すれば上の式。これを使えば、
  
  右辺の第１項はゼロだから つまり
  

• うーん、最初の項はゼロになるから、次の項まで計算しておかないといけないのか、、、

• 僕は次が分からない。「このようにして、我々は自由エネルギーに対する厳密な上限を導いた」とあるんだけど、なんでこれが上限の証明になるんだろう。次の(3.18),(3.19)から導かれる(3.16)から(3.20)が導かれて、これは厳密な自由エネルギーの上限になると思うんだけど。このステートメントは、ここじゃなくて、(3.20)式の次に入るべきじゃないのかなあ。誤植じゃないかなあ。

• 図書館に行って日本語訳を見てきましたが、原著のままですね。翻訳した人は特に問題だとは思ってないみたいですよ。

• うーん、僕の勘違いかなあ。

• でもここは、(3.18)のは明らかに の誤植だし、ミスもあるんじゃないですか。

• そういえば、28ページの真ん中あたりの も、 の誤植だろうということでしたよね。

• これは原稿が って書いてあったんでしょうね。

• それじゃ、(3.20)の証明にいきましょうか。あっ、時間が無い。それではまたあとで。